✅@2023-06-23T08:50D90 AM4-2023F-10
Fourier積分変換と逆変換
本を教えてもらった
前回
$ {\cal F}:\Complex^\Complex\ni x\mapsto\omega\mapsto\int_\R x(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt\in\Complex^\Complex
$ {\cal F}が出てきた過程は次の旅にて
$ {\cal F}^{-1}:\Complex^\Complex\ni x\mapsto t\mapsto\frac1{2\pi}\int_\R x(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega\in\Complex^\Complex
始域と終域とで函数空間の位相が重要になってくるが、今回はやらない たしかに、式形をよくみたらそうだな
$ {\cal F}(\dot x)(\omega)=\int_{t\in\R}e^{-i\omega t}\mathrm dx
$ = \lim_{t\to\infty}x(t)e^{-i\omega t}-\lim_{t\to\infty}x(-t)e^{i\omega t}+i\omega\int_\R xe^{-i\omega t}\mathrm dt
$ =0+i\omega\int_\R xe^{-i\omega t}\mathrm dt
$ x(t)は急減少函数で、$ e^tよりも速く収束するとする
$ = i\omega{\cal F}(x)(\omega)
これを繰り返せば
$ {\cal F}\frac{\mathrm d^n x}{{\mathrm dt}^n}:\omega\mapsto(i\omega)^n{\cal F}(x)(\omega)
となる
高度な数学を駆使して鉄道を作った